微分積分例

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

書き換えます。

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = y^{3} + 2 t$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

ステップ 2.2

総和則では、 $y^{3} + 2 t$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

ステップ 2.4

$2 t$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 t$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

ステップ 2.5

$3 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

ステップ 3

$N (x, y) = 3 y^{2} t$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

ステップ 3.2

$3 y^{2} t$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2} t$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$3 y^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 y^{2} = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 y^{2} = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$3 y^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

ステップ 5.3

$3 y^{2} t$ を $N$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$3 y^{2} t$ を $N$ に代入します。

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

ステップ 5.3.2

$3 y^{2} + 0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

ステップ 5.3.2.2

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

ステップ 5.3.2.3

$3$ を $3 (y^{2}) + 3 (0)$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

ステップ 5.3.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

$3$ を $3 y^{2} t$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

ステップ 5.3.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

ステップ 5.3.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

ステップ 5.3.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

ステップ 5.3.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{t}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

ステップ 6.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{t}$ と $x$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

ステップ 6.2.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

ステップ 7

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{\frac{x}{t}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$y^{3} + 2 t$ に $e^{\frac{x}{t}}$ をかけます。

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

ステップ 7.3

$3 y^{2} t$ に $e^{\frac{x}{t}}$ をかけます。

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

$3 t e^{\frac{x}{t}}$ は $y$ に対して定数なので、 $3 t e^{\frac{x}{t}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

ステップ 9.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 9.3

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ を $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2

簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.2

$\frac{3}{3}$ と $t$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.3

$\frac{3 t}{3}$ と $e^{\frac{x}{t}}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.4.2

$t e^{\frac{x}{t}}$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$t y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ の微分係数は $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ です。

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{t}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{t}$ とします。

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{t}$ で置き換えます。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.3

$\frac{1}{t}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{t}$ の微分係数は $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.5

$\frac{1}{t}$ に $1$ をかけます。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.6

$e^{\frac{x}{t}}$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.7

$t$ と $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ をまとめます。

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.8

$y^{3}$ と $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ をまとめます。

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.9

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.3.9.2

$y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.5

簡約します。

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ステップ 12.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 12.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 13.1.1

方程式の両辺から $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 13.1.2

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.2.1

$y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ から $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

ステップ 13.1.2.2

$2 t e^{\frac{x}{t}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

ステップ 14

$2 t e^{\frac{x}{t}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

ステップ 14.3

$2 t$ は $x$ に対して定数なので、 $2 t$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

ステップ 14.4

$u = \frac{x}{t}$ とします。次に $d u = \frac{1}{t} d x$ すると、 $t d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.4.1

$u = \frac{x}{t}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1.1

$\frac{x}{t}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

ステップ 14.4.1.2

$\frac{1}{t}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{t}$ の微分係数は $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t} \cdot 1$

ステップ 14.4.1.4

$\frac{1}{t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t}$

ステップ 14.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

ステップ 14.5

簡約します。

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ステップ 14.5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{t}$ で割ります。

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

ステップ 14.5.2

$t$ に $1$ をかけます。

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

ステップ 14.6

$t$ は $u$ に対して定数なので、 $t$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

ステップ 14.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.7.1

$t$ を $1$ 乗します。

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

ステップ 14.7.2

$t$ を $1$ 乗します。

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

ステップ 14.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

ステップ 14.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

ステップ 14.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

ステップ 14.9

簡約します。

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

ステップ 14.10

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{t}$ で置き換えます。

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

ステップ 16

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

微分積分 例

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