微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

ステップ 1.3

$x$ を $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

ステップ 1.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

ステップ 1.4.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

ステップ 1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

ステップ 1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 1.4.5

$4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.5

$y$ を $\frac{- 2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.6

$y$ と $\frac{- 2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{\frac{1}{2}}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{2}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{2}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{2}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{2}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.2.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.3

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = 2 v v'$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ の $2 v v'$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{2}$ を $y$ に代入します。

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $2 v$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $2 v$ で割ります。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.2.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3

$v^{2}$ と $v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.3.1

$v$ を $\frac{- 2}{x} v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.3.2.1

$v$ を $2 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.4

$\frac{- 2}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.7.1

$- \frac{2 v}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.7.2

$2$ を $- 2 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.7.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$2$ を $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1

$2$ を $2 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

ステップ 7.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

ステップ 7.1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

ステップ 7.1.1.3.3.2

簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

ステップ 7.1.1.3.4

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

ステップ 7.1.1.3.4.2

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

ステップ 7.1.2

$v$ を $- \frac{v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

ステップ 7.1.3

$v$ と $- \frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

ステップ 7.2

$P (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{1}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 7.2.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 7.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 7.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 7.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.3

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.1

$\frac{v}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

ステップ 7.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

ステップ 7.3.4

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

ステップ 7.3.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

ステップ 7.3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

ステップ 7.3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

ステップ 7.7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 7.7.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 7.7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.7.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

ステップ 7.7.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

ステップ 7.8

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

ステップ 7.8.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

ステップ 7.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

ステップ 7.8.3.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (x^{2} + C) x$

ステップ 7.8.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.2.1

$(x^{2} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = x^{2} x + C x$

ステップ 7.8.3.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.2.1.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.2.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$v = x^{2} x^{1} + C x$

ステップ 7.8.3.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$v = x^{2 + 1} + C x$

ステップ 7.8.3.2.1.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$v = x^{3} + C x$

ステップ 8

$y^{\frac{1}{2}}$ を $v$ に代入します。

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$

微分積分 例

微分積分例