微分積分例

$y (x^{2} - 1) d y - x (y^{2} - 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $x (y^{2} - 1) d x$ を足します。

$y (x^{2} - 1) d y = x (y^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2} - 1$ を $y (x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4

$y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y^{2} - 1$ を $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4.2

$y^{2} - 1$ を $x (y^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x^{2} - 1} x d x$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x^{2} - 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 3.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

ステップ 3.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

ステップ 4.2.1.1.2

$f (y) = y + 1$ および $g (y) = y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4.2

$y + 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.5

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 4.2.1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 4.2.1.1.3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

ステップ 4.2.1.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.2

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + y - 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.3

$y$ と $y$ をたし算します。

$2 y + 1 - 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 y + 0$

ステップ 4.2.1.1.3.8.4.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $(y + 1) (y - 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.1

$(x + 1) (x - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

ステップ 4.3.1.1.2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.1.1.3.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.1.1.3.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.3.1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.3.1.1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

ステップ 4.3.1.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

ステップ 4.3.1.1.3.8.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$x + 1 + x - 1$

ステップ 4.3.1.1.3.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x + 1 - 1$

ステップ 4.3.1.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 x + 0$

ステップ 4.3.1.1.3.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $(x + 1) (x - 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| y^{2} - 1 |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x^{2} - 1 |)$ をまとめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

ステップ 5.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 5.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

ステップ 5.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

ステップ 5.2.2.1.4

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

ステップ 5.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.3

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.3.2

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.3.3

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.4.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.5.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

ステップ 5.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

ステップ 5.6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

ステップ 5.6.3.2

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

ステップ 5.6.3.3

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.4.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

ステップ 5.6.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

ステップ 5.6.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

ステップ 5.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{2 C}$

ステップ 5.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

ステップ 5.9

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

方程式を $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$ として書き換えます。

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$

ステップ 5.9.2

両辺に $| (x + 1) (x - 1) |$ を掛けます。

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.1

$| (x + 1) (x - 1) |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.1.1.3.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.2.1

$e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

ステップ 5.9.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.2.1.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

ステップ 5.9.3.2.1.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

ステップ 5.9.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.4.1

$e^{2 C} | x^{2} - 1 |$ の因数を並べ替えます。

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

ステップ 5.9.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

ステップ 5.9.4.3

$\pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$ の因数を並べ替えます。

$y^{2} - 1 = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

ステップ 5.9.4.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{2} = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

ステップ 5.9.4.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

ステップ 6.2

定数を正または負でまとめます。

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$

微分積分 例

微分積分例