微分積分例

$\frac{1}{y} d x + 3 y d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{1}{y} d x$ を引きます。

$3 y d y = - \frac{1}{y} d x$

ステップ 2

両辺に $y$ を掛けます。

$y (3 y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 y \cdot y d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$y$ を移動させます。

$3 (y \cdot y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 y^{2} d y = - y \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.4.3

式を書き換えます。

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int 3 y^{2} d y = \int - 1 d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int y^{2} d y = \int - 1 d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - 1 d x$

ステップ 4.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ を $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

ステップ 4.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

ステップ 4.2.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

ステップ 4.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

ステップ 4.2.3.2.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

ステップ 4.3

定数の法則を当てはめます。

$y^{3} + C_{1} = - x + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{3} = - x + K$

$y^{3} = - x + K$

ステップ 5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- x + K}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$