微分積分例

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r t}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ の特性方程式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

ステップ 2.5

$e^{r t}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$e^{r t}$ を $3 r^{2} e^{r t}$ で因数分解します。

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

ステップ 2.5.2

$e^{r t}$ を $4 r e^{r t}$ で因数分解します。

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

ステップ 2.5.3

$e^{r t}$ を $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ で因数分解します。

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

ステップ 2.5.4

$e^{r t}$ を $- e^{r t}$ で因数分解します。

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.5.5

$e^{r t}$ を $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

ステップ 2.6

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r t}$ で割ります。

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

ステップ 3

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2

$a = 3$ 、 $b = 4$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.3

$16$ と $12$ をたし算します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 3.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.1.3

$16$ と $12$ をたし算します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 3.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.4.5

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.4.6

$- 1$ を $\sqrt{7}$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

ステップ 3.4.7

$- 1$ を $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

ステップ 3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.3

$16$ と $12$ をたし算します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.5.5

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.5.6

$- 1$ を $- \sqrt{7}$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

ステップ 3.5.7

$- 1$ を $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

ステップ 3.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

ステップ 6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$t$ と $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ をまとめます。

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

ステップ 6.2

$t$ と $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ をまとめます。

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$

微分積分 例

微分積分例