微分積分例

$2 x y \frac{d y}{d x} - y^{2} + x^{2} = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$2 x y \frac{d y}{d x} + x^{2} = y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

ステップ 1.1.2

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ の各項を $2 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ の各項を $2 x y$ で割ります。

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

ステップ 1.2

$\frac{y}{2 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

ステップ 1.3

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{x}{2 y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{x}{2 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.3.1.2

$\frac{x}{y}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $V$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

ステップ 6.1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

ステップ 6.1.1.1.3

$\frac{1}{V}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

ステップ 6.1.1.1.4

$2$ を $V$ の左に移動させます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$- V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1

$V$ を $V - V \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

$V$ を $V^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

$V$ を $- V \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

$V$ を $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.2

$- 1$ を $V$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.1

$- 1$ を $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.1.1

$- \frac{1}{2 V}$ と $- \frac{V}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.1.2

$- 1$ を $- \frac{V}{2}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.1.3

$- 1$ を $- \frac{1}{2 V}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.1.4

$- 1$ を $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.2

$\frac{V}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.3

$\frac{V}{2}$ に $\frac{V}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.5

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.6

$\frac{1}{x}$ に $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

ステップ 6.1.1.3.3.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2

$\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

ステップ 6.1.4.3

$2 V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

$- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

ステップ 6.1.4.3.2

$2 V$ を $- 2 V$ で因数分解します。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

ステップ 6.1.4.3.3

$2 V$ を $2 V x$ で因数分解します。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

ステップ 6.1.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

ステップ 6.1.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

ステップ 6.1.4.4

$V^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

ステップ 6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ は $V$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u = V^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 V d V$ すると、 $\frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u = V^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$V^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

総和則では、 $V^{2} + 1$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ です。

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$1$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 V + 0$

ステップ 6.2.2.2.1.5

$2 V$ と $0$ をたし算します。

$2 V$

ステップ 6.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

$u$ のすべての発生を $V^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 6.3.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

ステップ 6.3.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

ステップ 6.3.4

分配則を当てはめます。

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

ステップ 6.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

ステップ 6.3.6

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

ステップ 6.3.7

対数の定義を利用して $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

ステップ 6.3.8

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.1

方程式を $| V^{2} x + x | = e^{C}$ として書き換えます。

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

ステップ 6.3.8.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

ステップ 6.3.8.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

ステップ 6.3.8.4

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.1

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 6.3.8.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 6.3.8.4.2.1.2

$V^{2}$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 6.3.8.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 6.3.8.4.3.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

ステップ 6.3.8.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

ステップ 6.3.8.6

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.6.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

ステップ 6.3.8.6.2

$- 1$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

ステップ 6.3.8.6.3

公分母の分子をまとめます。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

ステップ 6.3.8.6.4

$\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ を $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 6.3.8.6.5

$\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 6.3.8.6.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.6.6.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 6.3.8.6.6.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 6.3.8.6.6.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 6.3.8.6.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.3.8.6.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 6.3.8.6.6.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.6.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.3.8.6.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.3.8.6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.8.6.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.6.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.8.6.6.6.4.2

式を書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 6.3.8.6.6.6.5

簡約します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

ステップ 6.3.8.6.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

ステップ 6.3.8.6.8

$\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

ステップ 8.2.1.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

微分積分 例

微分積分例