微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

ステップ 1

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{6}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 5}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{- \frac{1}{5}}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{- \frac{1}{5}}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

ステップ 5.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

ステップ 5.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2

$\frac{1}{5}$ と $2$ をまとめます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{5}}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.4.4.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.5.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.5.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.7

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.9.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.9.2

$1$ から $5$ を引きます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.10

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.11

$\frac{1}{5}$ と $v^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $v^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.14

$\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ と $v'$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.15

$\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ を積として書き換えます。

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

ステップ 5.16

$\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ に $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.17

指数を足して $v^{\frac{4}{5}}$ に $v^{\frac{2}{5}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.17.1

$v^{\frac{2}{5}}$ を移動させます。

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

ステップ 5.17.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

ステップ 5.17.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

ステップ 5.17.4

$2$ と $4$ をたし算します。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ の $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- \frac{1}{5}}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ の各項に $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ の各項に $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1

$5 v^{\frac{6}{5}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.2

$5 v^{\frac{6}{5}}$ を $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5

指数を足して $v^{- \frac{1}{5}}$ に $v^{\frac{6}{5}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.5.1

$v^{\frac{6}{5}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.4

$6$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.5

$5$ を $5$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.6

$- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.7

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.8

$- 5$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10

$v$ と $\frac{5}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.11

$5$ を $v$ の左に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

ステップ 7.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.3.2

$- \frac{1}{5} \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.2.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.3.2.2

$- 6$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.4

指数を足して $v^{- \frac{6}{5}}$ に $v^{\frac{6}{5}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.1

$v^{\frac{6}{5}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

ステップ 7.1.1.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.4.4

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

ステップ 7.1.1.3.4.5

$0$ を $5$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

ステップ 7.1.1.3.5

$- 5 x^{2} v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

ステップ 7.1.2

$v$ を $- \frac{5 v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

ステップ 7.1.3

$v$ と $- \frac{5}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

ステップ 7.2

$P (x) = - \frac{5}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{5}{x}$ を積分します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 7.2.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 7.2.2.5

簡約します。

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 5 \ln (x)}$

ステップ 7.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 5})}$

ステップ 7.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 5}$

ステップ 7.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{5}}$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{5}}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

各項に $\frac{1}{x^{5}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2.3

$\frac{5}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.1

$\frac{5 v}{x}$ に $\frac{1}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1

$x$ に $x^{5}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.2.4.2.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

ステップ 7.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

ステップ 7.3.4

$- 5$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

ステップ 7.3.5

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

ステップ 7.3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

ステップ 7.3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

ステップ 7.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

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ステップ 7.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

ステップ 7.7.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

ステップ 7.7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.7.3.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 7.7.3.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 7.7.3.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.7.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.7.3.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

ステップ 7.7.4

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

ステップ 7.7.5

答えを簡約します。

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ステップ 7.7.5.1

簡約します。

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ステップ 7.7.5.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 7.7.5.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

ステップ 7.7.5.2

簡約します。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 7.7.5.3

簡約します。

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ステップ 7.7.5.3.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.7.5.3.2

$5$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.8

$v$ について解きます。

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ステップ 7.8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 7.8.1.1

方程式の両辺から $\frac{5}{2 x^{2}}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

ステップ 7.8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

ステップ 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{5}}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

ステップ 7.8.2

$v$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.8.2.1

方程式の両辺に $\frac{5}{2 x^{2}}$ を足します。

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

ステップ 7.8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.8.3

両辺に $x^{5}$ を掛けます。

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

ステップ 7.8.4

簡約します。

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ステップ 7.8.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.8.4.1.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

ステップ 7.8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

ステップ 7.8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.8.4.2.1

$(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ を簡約します。

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ステップ 7.8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 7.8.4.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.4.2.1.2.1

$x^{2}$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.2

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.4

式を書き換えます。

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

ステップ 7.8.4.2.1.3

$\frac{5}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

ステップ 7.8.4.2.1.4

$\frac{5 x^{3}}{2}$ と $C x^{5}$ を並べ替えます。

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

ステップ 8

$y^{- 5}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

微分積分 例

微分積分例