微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

ステップ 2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C_{1}}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

ステップ 3.4

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

ステップ 7.2

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 7.5

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

ステップ 7.6

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

ステップ 7.10

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ を $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

ステップ 7.11

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

ステップ 7.12

簡約します。

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ステップ 7.12.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

ステップ 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

ステップ 7.12.1.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

ステップ 7.12.2

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

ステップ 7.12.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.12.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

ステップ 7.12.3.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

ステップ 7.12.3.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

ステップ 7.12.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

ステップ 7.12.4.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

ステップ 7.12.4.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

ステップ 8

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 10

方程式を書き換えます。

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

ステップ 11

両辺を積分します。

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ステップ 11.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3

右辺を積分します。

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ステップ 11.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3.6

$C_{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

ステップ 11.3.7

式を簡約します。

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ステップ 11.3.7.1

$e^{2 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

ステップ 11.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.2.1

${(e^{2 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.7.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

ステップ 11.3.7.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

ステップ 11.3.7.2.2

$e^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 11.3.8

$u_{2} = - 2 x$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.3.8.1

$u_{2} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.8.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 11.3.8.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.3.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 11.3.8.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 11.3.8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 11.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 11.3.9.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 11.3.10

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 11.3.11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

ステップ 11.3.12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

ステップ 11.3.13

簡約します。

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

ステップ 11.3.14

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

ステップ 11.3.15

項を並べ替えます。

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

ステップ 11.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$

微分積分 例

微分積分例