微分積分例

$2 x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 x (1 + y^{2}) d x$ を引きます。

$y (1 + x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1 + x^{2}$ を $y (1 + x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.4

$- 2$ と $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.5

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$1 + y^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.5.2

$1 + y^{2}$ を $x (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

ステップ 3.6

$\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 y$

ステップ 4.2.1.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.4

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 4.3.4.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 4.3.9

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + y^{2} |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |)) + 2 C$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ を簡約します。

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

ステップ 5.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2})} = e^{2 C}$

ステップ 5.6

対数の定義を利用して $\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = | 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}$

ステップ 5.7

$y$ について解きます。

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ステップ 5.7.1

方程式を $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ として書き換えます。

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$

ステップ 5.7.2

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ の各項を ${(1 + x^{2})}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ の各項を ${(1 + x^{2})}^{2}$ で割ります。

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.7.2.2.1.2

$| 1 + y^{2} |$ を $1$ で割ります。

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.7.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$

ステップ 5.7.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

ステップ 6.2

定数を正または負でまとめます。

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

微分積分 例

微分積分例