微分積分例

$\frac{d y}{d x} - 2 \frac{y}{x^{2}} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

$- 2$ と $\frac{y}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x^{2}} = 0$

ステップ 1.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x^{2}} = 0$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $\frac{2 y}{x^{2}}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$2 (- x^{- 1} + C_{2})$ を $2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{2}{x} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- \frac{2}{x} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \frac{2}{x} + C}$ を $e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{2}{x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \frac{2}{x}}$

微分積分 例

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