微分積分例

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ の各項を $x^{2} + 2 x - 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ の各項を $x^{2} + 2 x - 3$ で割ります。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x^{2} + 2 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 1.1.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1}$

ステップ 2.3.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 1) (x + 3)$ です。

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.4

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.5

$x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.5.2

$x + 5$ を $1$ で割ります。

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.6.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.6.1.2

$(A) (x + 3)$ を $1$ で割ります。

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.6.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.6.4

$x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.1.6.4.2

$(B) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

ステップ 2.3.1.1.6.5

分配則を当てはめます。

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.1.6.6

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

ステップ 2.3.1.1.6.7

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

ステップ 2.3.1.1.7

$3 A$ を移動させます。

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

ステップ 2.3.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.3.1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 2.3.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 2.3.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 2.3.1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 2.3.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.1

$5 = 3 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.2.1

$3 (1 - B) - 1 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.2

$- 3 B$ から $B$ を引きます。

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3

$5 = 3 - 4 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.1

方程式を $3 - 4 B = 5$ として書き換えます。

$3 - 4 B = 5$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 B = 5 - 3$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.2.2

$5$ から $3$ を引きます。

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3

$- 4 B = 2$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.1

$- 4 B = 2$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.1

$2$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.2.1

$1 - (- \frac{1}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.1

$- (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

ステップ 2.3.1.5.4

$\frac{1}{x + 3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.5.5

$2$ を $x + 3$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

ステップ 2.3.8

$u_{2} = x + 3$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$u_{2} = x + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.8.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.8.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

ステップ 2.3.11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

ステップ 2.3.11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$

微分積分 例

微分積分例