微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y + y e^{y^{2}}$ を掛けます。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$y$ を $y + y e^{y^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

ステップ 1.2.1.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

ステップ 1.2.1.3

$y$ を $y e^{y^{2}}$ で因数分解します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.1.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ で因数分解します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.2

$y + y e^{y^{2}}$ に $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ をかけます。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.3

$y$ を $y + y e^{y^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$y$ を $1$ 乗します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.3.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.3.3

$y$ を $y e^{y^{2}}$ で因数分解します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.3.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ で因数分解します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

共通因数を約分します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

ステップ 1.2.4.2

式を書き換えます。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

ステップ 1.2.5

$1 + e^{y^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

ステップ 1.2.5.2

$1 + x e^{x}$ を $1$ で割ります。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.3

$u = y^{2}$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$u = y^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y$

ステップ 2.2.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.4

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.2.8

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

ステップ 2.3.3

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

ステップ 2.3.4

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$

微分積分 例

微分積分例