微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{8 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{8 y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $8 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 8}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 8}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{8}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{3 x^{2}}{8} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{8} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{8} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{3}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{3}{8} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{3}{8}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{24} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$3$ と $24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 (1)}{24} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.2.1

$3$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 8} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 8} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{8}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{8} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{8} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (4)} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 4} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{x^{3}}{4} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 3.4.2

$2 K$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 2 K \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.4

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.5

$\frac{x^{3} + 8 K}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{3} + 8 K)$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.5.1

$x^{3} + 8 K$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 8 K)}{4}}$

ステップ 3.4.5.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.5.3

分数 $\frac{1^{2} (x^{3} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{3} + 8 K)}$

ステップ 3.4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{3} + 8 K}$

ステップ 3.4.7

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{x^{3} + 8 K}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{2}$

微分積分 例

微分積分例