微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x^{5} - 5$ とします。次に $d u = 5 x^{4} d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = x^{5} - 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$x^{5} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x^{5} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.3.1.1.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4}$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

ステップ 2.3.2

$u^{2}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ を $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $x^{5} - 5$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ の $1$ を $x$ に、 $5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ として書き換えます。

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

ステップ 4.2.2

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

ステップ 4.2.3

$- 4$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{15}$ と $- 64$ をまとめます。

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

ステップ 4.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{64}{15} + K = 5$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{64}{15}$ を足します。

$K = 5 + \frac{64}{15}$

ステップ 4.3.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

ステップ 4.3.3

$5$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$5$ に $15$ をかけます。

$K = \frac{75 + 64}{15}$

ステップ 4.3.5.2

$75$ と $64$ をたし算します。

$K = \frac{139}{15}$

ステップ 5

$\frac{139}{15}$ を $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{139}{15}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

二項定理を利用します。

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

${(x^{5})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.1.2

$5$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.2

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.3

$- 5$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.4

$- 5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.5

$25$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.2.6

$- 5$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4

簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\frac{1}{15}$ と $x^{15}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.2

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.2.1

$15$ を $- 15 x^{10}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.3

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$15$ を $75 x^{5}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.4.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.4.2

$5$ を $- 125$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.4.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.4.4

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.4.5

$\frac{1}{3}$ と $- 25$ をまとめます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

ステップ 5.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

ステップ 5.3

$- \frac{25}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

ステップ 5.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{25}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

ステップ 5.4.2

$3$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$- 25$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

ステップ 5.6.2

$- 125$ と $139$ をたし算します。

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$

微分積分 例

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