微分積分例

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$x y' = x^{2} + y$

ステップ 2

$y'$ を求めます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

ステップ 2.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 2.3.1

微分します。

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ステップ 2.3.1.1

総和則では、 $x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$2 x + 4$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x + 4$

ステップ 3

与えられた微分方程式に代入します。

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

ステップ 4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

ステップ 4.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

ステップ 4.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

ステップ 4.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

ステップ 4.5

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

ステップ 5

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = x^{2} + 4 x$ は $x y' = x^{2} + y$ の解です

微分積分 例

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