微分積分例

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $e^{x} + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

$e^{x}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $e^{x}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

ステップ 1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- \frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{e^{x}}{y}$ の微分係数は $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.4.3

$e^{x}$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

ステップ 2.5.2

$y - \frac{e^{x}}{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $y - \frac{e^{x}}{y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$y - \frac{e^{x}}{y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

ステップ 4.3

$e^{x} + y^{2}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$e^{x} + y^{2}$ を $M$ に代入します。

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

ステップ 4.3.2

分数の分子と分母に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

まとめる。

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- \frac{e^{x}}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.5.3

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.1

$y$ を移動させます。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.5.3.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.5.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.5.5

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.6

$y$ を $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$y$ を $y e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

ステップ 4.3.6.2

$y$ を $y \cdot y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

ステップ 4.3.6.3

$y$ を $y (e^{x}) + y (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

ステップ 4.3.7

$- y^{2} - e^{x}$ と $e^{x} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

ステップ 4.3.7.2

$- 1$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

ステップ 4.3.7.3

$- 1$ を $- (y^{2}) - (e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

ステップ 4.3.7.4

$- (y^{2} + e^{x})$ を $- 1 (y^{2} + e^{x})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

ステップ 4.3.7.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

ステップ 4.3.7.6

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

ステップ 4.3.7.7

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{y}$

ステップ 4.3.8

$e^{x} + y^{2}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{1}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

ステップ 5.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

ステップ 6

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$e^{x} + y^{2}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$e^{x} + y^{2}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.4

$x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.3

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

$y$ を移動させます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.3.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.4

$- 2 y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.5

$- 2 y^{2}$ と $\frac{y}{y}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.7

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.1

$y$ を移動させます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.7.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.5.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.7

$\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

ステップ 6.7.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

ステップ 6.7.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

ステップ 6.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

ステップ 6.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数を複数の分数に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

ステップ 8.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

ステップ 8.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

ステップ 8.3.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

ステップ 8.3.2.3

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

ステップ 8.3.2.4

式を書き換えます。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

ステップ 8.3.2.5

$y$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

ステップ 8.4

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

ステップ 8.5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

ステップ 8.6

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

ステップ 8.7

簡約します。

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{e^{x}}{y}$ の微分係数は $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d y} [y x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.6

簡約します。

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ステップ 11.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.6.2

$e^{x}$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 11.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

簡約します。

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ステップ 12.1.1.3.2.1

$- - e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2.1.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.1.4.1

$- e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- x y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1.5.1

$y^{2}$ を $- x y^{2} + 2 y^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 12.1.1.5.1.1

$y^{2}$ を $- x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2

$y^{2}$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2.2

$- x + 2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

ステップ 12.1.1.6

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.1.6.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

ステップ 12.1.1.6.2

$\frac{d g}{d y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

ステップ 13

$- 2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - 2 y d y$

ステップ 13.3

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 \int y d y$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

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ステップ 13.5.1

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

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ステップ 13.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$g (y) = - y^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例