微分積分例

$\frac{d y}{d t} = y^{2} - 6 y + 5$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} - 6 y + 5}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} (y^{2} - 6 y + 5)$

ステップ 1.2

$y^{2} - 6 y + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} (y^{2} - 6 y + 5)$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} \frac{d y}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} d y = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} - 6 y + 5} d y = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 6 y + 5$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 2.2.1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(y - 5) (y - 1)}$

ステップ 2.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y - 5}$

ステップ 2.2.1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y - 5} + \frac{B}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(y - 5) (y - 1)$ です。

$\frac{1 (y - 5) (y - 1)}{(y - 5) (y - 1)} = \frac{(A) (y - 5) (y - 1)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.5

$y - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y - 5) (y - 1)}{(y - 5) (y - 1)} = \frac{(A) (y - 5) (y - 1)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y - 5) (y - 1)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.6

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y - 5) (y - 1)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (y - 5) (y - 1)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.1

$y - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (y - 5) (y - 1)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.1.2

$(A) (y - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A y - A + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.5

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A y - A + \frac{(B) (y - 5) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.5.2

$(B) (y - 5)$ を $1$ で割ります。

$1 = A y - A + (B) (y - 5)$

ステップ 2.2.1.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A y - A + B y + B \cdot - 5$

ステップ 2.2.1.1.7.7

$- 5$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = A y - A + B y - 5 B$

ステップ 2.2.1.1.8

$- A$ を移動させます。

$1 = A y + B y - A - 5 B$

ステップ 2.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2.1.2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A - 5 B$

ステップ 2.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 5 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 5 B$

ステップ 2.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 5 B$

ステップ 2.2.1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 1 A - 5 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 5 B$

ステップ 2.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.1

$1 = - 1 A - 5 B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (- B) - 5 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1

$- 1 (- B) - 5 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 = 1 B - 5 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = B - 5 B$

$A = - B$

$1 = B - 5 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.2

$B$ から $5 B$ を引きます。

$1 = - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 4 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3

$1 = - 4 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.1

方程式を $- 4 B = 1$ として書き換えます。

$- 4 B = 1$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2

$- 4 B = 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.1

$- 4 B = 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{- 4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 4}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{4}$ で置き換えます。

$A = - (- \frac{1}{4})$

$B = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.2.1

$- (- \frac{1}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1 (\frac{1}{4})$

$B = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.1.3.4.2.1.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{4}, B = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{A}{y - 5} + \frac{B}{y - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{4}}{y - 5} + \frac{- \frac{1}{4}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 5} + \frac{- \frac{1}{4}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{y - 5}$ をかけます。

$\frac{1}{4 (y - 5)} + \frac{- \frac{1}{4}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4 (y - 5)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.4

$\frac{1}{y - 1}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{4 (y - 5)} - \frac{1}{(y - 1) \cdot 4}$

ステップ 2.2.1.5.5

$4$ を $y - 1$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{4 (y - 5)} - \frac{1}{4 (y - 1)} d y = \int d t$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{4 (y - 5)} d y + \int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y = \int d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 5} d y + \int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y = \int d t$

ステップ 2.2.4

$u_{1} = y - 5$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$u_{1} = y - 5$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1

$y - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

ステップ 2.2.4.1.2

総和則では、 $y - 5$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

ステップ 2.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

ステップ 2.2.4.1.4

$- 5$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y = \int d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y = \int d t$

ステップ 2.2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y = \int d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) = \int d t$

ステップ 2.2.8

$u_{2} = y - 1$ とします。次に $d u_{2} = d y$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$u_{2} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.8.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.8.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

ステップ 2.2.9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

ステップ 2.2.10

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) = t + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| y - 5 |)$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) = t + C$

ステップ 3.1.1.2

$\ln (| y - 1 |)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{4} - \frac{\ln (| y - 1 |)}{4} = t + C$

ステップ 3.2

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{4} - \frac{\ln (| y - 1 |)}{4} = t + C$ の各項に $4$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{4} - \frac{\ln (| y - 1 |)}{4} = t + C$ の各項に $4$ を掛けます。

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| y - 1 |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| y - 1 |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| y - 1 |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

$- \frac{\ln (| y - 1 |)}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\ln (| y - 5 |) + \frac{- \ln (| y - 1 |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y - 5 |) + \frac{- \ln (| y - 1 |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y - 5 |) - \ln (| y - 1 |) = t \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$4$ を $t$ の左に移動させます。

$\ln (| y - 5 |) - \ln (| y - 1 |) = 4 \cdot t + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3.1.2

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| y - 5 |) - \ln (| y - 1 |) = 4 t + 4 C$

ステップ 3.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |}) = 4 t + 4 C$

ステップ 3.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |})} = e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |}) = 4 t + 4 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{4 t + 4 C} = \frac{| y - 5 |}{| y - 1 |}$

ステップ 3.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |} = e^{4 t + 4 C}$ として書き換えます。

$\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |} = e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.2

両辺に $| y - 1 |$ を掛けます。

$\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{4 t + 4 C} | y - 1 |$

ステップ 3.6.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

$| y - 1 |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y - 5 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{4 t + 4 C} | y - 1 |$

ステップ 3.6.3.1.2

式を書き換えます。

$| y - 5 | = e^{4 t + 4 C} | y - 1 |$

ステップ 3.6.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

方程式を $e^{4 t + 4 C} | y - 1 | = | y - 5 |$ として書き換えます。

$e^{4 t + 4 C} | y - 1 | = | y - 5 |$

ステップ 3.6.4.2

$e^{4 t + 4 C} | y - 1 | = | y - 5 |$ の各項を $e^{4 t + 4 C}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.2.1

$e^{4 t + 4 C} | y - 1 | = | y - 5 |$ の各項を $e^{4 t + 4 C}$ で割ります。

$\frac{e^{4 t + 4 C} | y - 1 |}{e^{4 t + 4 C}} = \frac{| y - 5 |}{e^{4 t + 4 C}}$

ステップ 3.6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.2.2.1

$e^{4 t + 4 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 t + 4 C} | y - 1 |}{e^{4 t + 4 C}} = \frac{| y - 5 |}{e^{4 t + 4 C}}$

ステップ 3.6.4.2.2.1.2

$| y - 1 |$ を $1$ で割ります。

$| y - 1 | = \frac{| y - 5 |}{e^{4 t + 4 C}}$

ステップ 3.6.4.3

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$y - 1 = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$

$y - 1 = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$

$- (y - 1) = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$

ステップ 3.6.4.4

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$y - 1 = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$

$y - 1 = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$

ステップ 3.6.4.5

$y$ について $y - 1 = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.1

両辺に $e^{4 t + 4 C}$ を掛けます。

$(y - 1) e^{4 t + 4 C} = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.2.1.1

$(y - 1) e^{4 t + 4 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y e^{4 t + 4 C} - 1 e^{4 t + 4 C} = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.5.2.1.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.2.1.1.2.1

$- 1 e^{4 t + 4 C}$ を $- e^{4 t + 4 C}$ に書き換えます。

$y e^{4 t + 4 C} - e^{4 t + 4 C} = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.5.2.1.1.2.2

$4 t$ と $4 C$ を並べ替えます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 t + 4 C} = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.5.2.1.1.2.3

$4 t$ と $4 C$ を並べ替えます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.2.2.1

$e^{4 t + 4 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = y - 5$

ステップ 3.6.4.5.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} - y = - 5$

ステップ 3.6.4.5.3.2

方程式の両辺に $e^{4 C + 4 t}$ を足します。

$y e^{4 C + 4 t} - y = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.3

$y$ を $y e^{4 C + 4 t} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.3.1

$y$ を $y e^{4 C + 4 t}$ で因数分解します。

$y e^{4 C + 4 t} - y = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y e^{4 C + 4 t} + y \cdot - 1 = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.3.3

$y$ を $y e^{4 C + 4 t} + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (e^{4 C + 4 t} - 1) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.4

$e^{4 C + 4 t}$ を ${(e^{2 C + 2 t})}^{2}$ に書き換えます。

$y ({(e^{2 C + 2 t})}^{2} - 1) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y ({(e^{2 C + 2 t})}^{2} - 1^{2}) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{2 C + 2 t}$ であり、 $b = 1$ です。

$y ((e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{2 C + 2 t} - 1)) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.7

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.7.1.1

$e^{2 C + 2 t}$ を ${(e^{C + t})}^{2}$ に書き換えます。

$y ((e^{2 C + 2 t} + 1) ({(e^{C + t})}^{2} - 1)) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.7.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y ((e^{2 C + 2 t} + 1) ({(e^{C + t})}^{2} - 1^{2})) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.7.1.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.7.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{C + t}$ であり、 $b = 1$ です。

$y ((e^{2 C + 2 t} + 1) ((e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1))) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.7.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$y ((e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.7.2

不要な括弧を削除します。

$y (e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.5.3.8

$y (e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$ の各項を $(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.8.1

$y (e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1) = - 5 + e^{4 C + 4 t}$ の各項を $(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)$ で割ります。

$\frac{y (e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} = \frac{- 5}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.1

$e^{2 C + 2 t} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} = \frac{- 5}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.2

$e^{C + t} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 5}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.3

$e^{C + t} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 5}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.2.3.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 5}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.5.3.8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 5 + e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.3.2

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (5) + e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.3.3

$- 1$ を $e^{4 C + 4 t}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (5) - 1 (- e^{4 C + 4 t})}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.3.4

$- 1$ を $- 1 (5) - 1 (- e^{4 C + 4 t})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (5 - e^{4 C + 4 t})}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.5.3.8.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5 - e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

ステップ 3.6.4.6

$y$ について $y - 1 = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.1

両辺に $e^{4 t + 4 C}$ を掛けます。

$(y - 1) e^{4 t + 4 C} = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.1.1

$(y - 1) e^{4 t + 4 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y e^{4 t + 4 C} - 1 e^{4 t + 4 C} = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2.1.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.1.1.2.1

$- 1 e^{4 t + 4 C}$ を $- e^{4 t + 4 C}$ に書き換えます。

$y e^{4 t + 4 C} - e^{4 t + 4 C} = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2.1.1.2.2

$4 t$ と $4 C$ を並べ替えます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 t + 4 C} = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2.1.1.2.3

$4 t$ と $4 C$ を並べ替えます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = - \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.2.1

$- \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.2.1.1

$e^{4 t + 4 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.2.2.1.1.1

$- \frac{y - 5}{e^{4 t + 4 C}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = \frac{- (y - 5)}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = \frac{- (y - 5)}{e^{4 t + 4 C}} e^{4 t + 4 C}$

ステップ 3.6.4.6.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = - (y - 5)$

ステップ 3.6.4.6.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = - y - - 5$

ステップ 3.6.4.6.2.2.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} = - y + 5$

ステップ 3.6.4.6.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.3.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$y e^{4 C + 4 t} - e^{4 C + 4 t} + y = 5$

ステップ 3.6.4.6.3.2

方程式の両辺に $e^{4 C + 4 t}$ を足します。

$y e^{4 C + 4 t} + y = 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.6.3.3

$y$ を $y e^{4 C + 4 t} + y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.3.3.1

$y$ を $y e^{4 C + 4 t}$ で因数分解します。

$y e^{4 C + 4 t} + y = 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.6.3.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$y e^{4 C + 4 t} + y = 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.6.3.3.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y e^{4 C + 4 t} + y \cdot 1 = 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.6.3.3.4

$y$ を $y e^{4 C + 4 t} + y \cdot 1$ で因数分解します。

$y (e^{4 C + 4 t} + 1) = 5 + e^{4 C + 4 t}$

ステップ 3.6.4.6.3.4

$y (e^{4 C + 4 t} + 1) = 5 + e^{4 C + 4 t}$ の各項を $e^{4 C + 4 t} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.3.4.1

$y (e^{4 C + 4 t} + 1) = 5 + e^{4 C + 4 t}$ の各項を $e^{4 C + 4 t} + 1$ で割ります。

$\frac{y (e^{4 C + 4 t} + 1)}{e^{4 C + 4 t} + 1} = \frac{5}{e^{4 C + 4 t} + 1} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

ステップ 3.6.4.6.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.3.4.2.1

$e^{4 C + 4 t} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{4 C + 4 t} + 1)}{e^{4 C + 4 t} + 1} = \frac{5}{e^{4 C + 4 t} + 1} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

ステップ 3.6.4.6.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5}{e^{4 C + 4 t} + 1} + \frac{e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

ステップ 3.6.4.6.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{5 + e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

ステップ 3.6.4.7

すべての解をまとめます。

$y = - \frac{5 - e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - e^{4 C + 4 t}}{(e^{2 C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + e^{4 C + 4 t}}{e^{4 C + 4 t} + 1}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{5 - e^{C + 4 t}}{(e^{C + 2 t} + 1) (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$