微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4

$(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 2.3.4.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4.6

$2$ から $1$ を引きます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4.7

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.5

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ の $1$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ として書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

ステップ 4.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

ステップ 4.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

ステップ 4.2.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

ステップ 4.2.5.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{8}{3} + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $\frac{8}{3}$ を引きます。

$K = - \frac{8}{3}$

ステップ 5

$- \frac{8}{3}$ を $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{8}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

ステップ 5.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

微分積分 例

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