微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{1} = 4 x$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u_{1} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{4}$ と $\cos (e^{u_{1}})$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 2.3.4

$u_{2} = e^{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.4.1

$u_{2} = e^{u_{1}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 2.3.4.1.1

$e^{u_{1}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

ステップ 2.3.4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}}$

ステップ 2.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.5

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 2.3.7.1

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{u_{1}}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ として書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$\sin (1)$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

ステップ 4.2.1.4

$\frac{1}{4}$ と $0.0174524$ をまとめます。

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

ステップ 4.2.1.5

$0.0174524$ を $4$ で割ります。

$0.0043631 + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $0.0043631$ を引きます。

$K = - 0.0043631$

ステップ 5

$- 0.0043631$ を $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 0.0043631$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

ステップ 5.2

$\frac{1}{4}$ と $\sin (e^{4 x})$ をまとめます。

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$

微分積分 例

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