微分積分例

$x v d v - (1 + v^{2}) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $(1 + v^{2}) d x$ を足します。

$x v d v = (1 + v^{2}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (1 + v^{2})}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x v$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x (v)) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + v^{2}} v d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + v^{2}}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3.3

$1 + v^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$1 + v^{2}$ を $x (1 + v^{2})$ で因数分解します。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{v}{1 + v^{2}} d v = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u = 1 + v^{2}$ とします。次に $d u = 2 v d v$ すると、 $\frac{1}{2} d u = v d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u = 1 + v^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$1 + v^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [1 + v^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.2

総和則では、 $1 + v^{2}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ です。

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.3

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 v$

ステップ 4.2.1.1.5

$0$ と $2 v$ をたし算します。

$2 v$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$u$ のすべての発生を $1 + v^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$v$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |))$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + v^{2} |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

ステップ 5.5

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

ステップ 5.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = \frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}$

ステップ 5.7

$v$ について解きます。

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ステップ 5.7.1

方程式を $\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ として書き換えます。

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

ステップ 5.7.2

両辺に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

ステップ 5.7.3

簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

ステップ 5.7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$| 1 + v^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

ステップ 5.7.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.2.1

$e^{2 C} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$| 1 + v^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

ステップ 5.7.4

$v$ について解きます。

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ステップ 5.7.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 + v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

ステップ 5.7.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

ステップ 5.7.4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

積分定数を簡約します。

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

ステップ 6.2

定数を正または負でまとめます。

$v = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

微分積分 例

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