微分積分例

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d t}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $t$ を足します。

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

ステップ 1.1.2

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ の各項を $t^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ の各項を $t^{2}$ で割ります。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$t$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$t$ を $t y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$t$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.3.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{t}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t}{t}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $t^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\frac{y}{t}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.3.2

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.3.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

ステップ 1.2.5

$\frac{1}{t}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t}{t}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

ステップ 1.2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $t^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.6.1

$\frac{1}{t}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

ステップ 1.2.6.2

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

ステップ 1.2.6.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

ステップ 1.2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

ステップ 1.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

ステップ 1.2.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

ステップ 1.2.8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

ステップ 1.2.8.2

最大公約数 $y + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

ステップ 1.5

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.1.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 2.3.1.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.2

$(1 + t) t^{- 2}$ を掛けます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$t^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3.2

指数を足して $t$ に $t^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$t$ に $t^{- 2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

ステップ 2.3.3.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

ステップ 2.3.6

$t^{- 1}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ として書き換えます。

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| t |$ を掛けます。

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$| t |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ の因数を並べ替えます。

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

ステップ 3.5.4.3

$\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ の因数を並べ替えます。

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

ステップ 3.5.4.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \frac{1}{t} + C}$ を $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{1}{t}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

微分積分 例

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