微分積分例

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.3.2.4

$2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

ステップ 1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $6 e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

ステップ 1.4.2.4

$3 e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

ステップ 2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

ステップ 3.4

指数を足して $e^{2 x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

ステップ 3.4.3

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

ステップ 3.5

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

ステップ 7.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

ステップ 7.3

簡約します。

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

ステップ 8

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{2 x}$ を $3 e^{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$3 e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ の $0$ を $x$ に、 $6$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

ステップ 10

$C$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ として書き換えます。

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

ステップ 10.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

ステップ 10.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

ステップ 10.2.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$3 + \frac{C}{1} = 6$

ステップ 10.2.4

$C$ を $1$ で割ります。

$3 + C = 6$

ステップ 10.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$C = 6 - 3$

ステップ 10.3.2

$6$ から $3$ を引きます。

$C = 3$

ステップ 11

$3$ を $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$3$ を $C$ に代入します。

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$

微分積分 例

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