微分積分例

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{y}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + {(\frac{y}{x})}^{2}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + 1 + V^{2}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 1 + V^{2}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + 1 + V^{2} - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$V + 1 + V^{2} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$1 + V^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{1}{1 + V^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.4

$1 + V^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ の $V$ に関する積分は $\arctan (V) + C_{1}$ です。

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $V$ を取り出します。

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ を解きます。

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ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$\tan (\ln (| x |) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

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