微分積分例

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \arctan (x) + x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $\arctan (x) + x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.2.2

$\arctan (x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\arctan (x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

ステップ 1.4

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

ステップ 2

$N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e^{y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

ステップ 2.3.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

ステップ 2.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

ステップ 2.3.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

ステップ 2.4

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x = x$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$x = x$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

ステップ 5.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

ステップ 5.4

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

ステップ 5.5

簡約します。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.2

微分します。

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ステップ 8.2.1

総和則では、 $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.2.2

$e^{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e^{y}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.3

$\frac{y}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2} y}{2}$ の微分係数は $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.5

$2$ と $\frac{y}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.6

$\frac{2 y}{2}$ と $x$ をまとめます。

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.7.1

共通因数を約分します。

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.3.7.2

$y x$ を $1$ で割ります。

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

$0$ と $y x$ をたし算します。

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

ステップ 9.1.2

$\arctan (x) + x y - x y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$x y$ から $x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

ステップ 9.1.2.2

$\arctan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

ステップ 10

$\arctan (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

ステップ 10.3

$u = \arctan (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 10.4

$x$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 10.5

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.5.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.5.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 10.5.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 10.5.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 10.5.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 10.5.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 10.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 10.6

簡約します。

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ステップ 10.6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 10.6.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

ステップ 10.6.3

$2$ に $u$ をかけます。

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 10.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 10.8

括弧を削除します。

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10.9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 10.10

簡約します。

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 10.11

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 11

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 12

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ を簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 12.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 12.1.3

$- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ を掛けます。

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ステップ 12.1.3.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

ステップ 12.1.3.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ を簡約します。

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 12.2

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.3

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.5

分子を簡約します。

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ステップ 12.5.1

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 12.5.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

ステップ 12.5.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

ステップ 12.5.2

${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 12.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 12.5.2.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

ステップ 12.5.3

簡約します。

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

ステップ 12.6

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例