微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1 + y^{2}}{y}$ を掛けます。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{y}{1 + y^{2}}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

ステップ 1.3.2

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

$y$ を $y \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

ステップ 1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

ステップ 1.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3.2.4

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3.2.5

$y$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ として書き換えます。

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sin (0) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

ステップ 4.3.1.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

ステップ 4.3.1.1.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$C = \frac{1}{2} + 0$

ステップ 4.3.1.2

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$C = \frac{1}{2}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ を $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ を $C$ に代入します。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

微分積分 例

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