微分積分例

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $(2 x y + x^{2}) d y$ を引きます。

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x y + 3 y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

ステップ 3

$N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

ステップ 3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (2 x y + x^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 x y + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

ステップ 3.8.2

項をまとめます。

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ステップ 3.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

ステップ 3.8.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

ステップ 3.8.3

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$2 x + 6 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$2 x + 6 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$- 2 x - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

ステップ 5.3

$- (2 x y + x^{2})$ を $N$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$- (2 x y + x^{2})$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.4

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.5

$6 y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.6

$4$ を $4 x + 8 y$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.6.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.6.2

$4$ を $8 y$ で因数分解します。

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.2.6.3

$4$ を $4 (x) + 4 (2 y)$ で因数分解します。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

ステップ 5.3.3

$x$ を $2 x y + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

ステップ 5.3.3.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

ステップ 5.3.3.3

$x$ を $x (2 y) + x \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

ステップ 5.3.4

$x + 2 y$ と $2 y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{- x}$

ステップ 5.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

ステップ 6.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 6.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

対数の中の $- 4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

ステップ 6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

ステップ 6.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 4}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

ステップ 6.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 7

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{4}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$2 x y + 3 y^{2}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2

$2 x y + 3 y^{2}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3

$y$ を $2 x y + 3 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3.2

$y$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3.3

$y$ を $y (2 x) + y (3 y)$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4

$- (2 x y + x^{2})$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.7

$- 2 x y - x^{2}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.8

$x$ を $- 2 x y - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.8.1

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.8.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.8.3

$x$ を $x (- 2 y) + x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.9

共通因数を約分します。

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ステップ 7.9.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.9.3

式を書き換えます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.10

$- 1$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.11

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.12

$- 1$ を $- (2 y) - (x)$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.13

$- (2 y + x)$ を $- 1 (2 y + x)$ に書き換えます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

ステップ 9.2

$\frac{1}{x^{3}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x^{3}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

ステップ 9.3

括弧を削除します。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

ステップ 9.4

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

ステップ 9.5

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

ステップ 9.6

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

ステップ 9.7

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

ステップ 9.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

ステップ 9.9

簡約します。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.2

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ および $g (x) = y^{2} + x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.3

総和則では、 $y^{2} + x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.4

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.5

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.7

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.10

$y$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.11

$0$ と $y$ をたし算します。

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.12

$\frac{1}{x^{3}}$ と $y$ をまとめます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.13

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.13.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.13.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.14

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.15

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.15.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.15.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.15.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.16

$(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ を掛けます。

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.17

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.18

指数を足して $x^{- 4}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.18.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.18.3

$3$ から $4$ を引きます。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.3

$y^{2}$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.4

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.5

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.7

$x$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.8

$y$ と $\frac{x \cdot 3}{x}$ をまとめます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.9

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.10

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.11

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.11.1

共通因数を約分します。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.11.2

$3 y$ を $1$ で割ります。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.12

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.13

$y$ から $3 y$ を引きます。

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.14

$\frac{d g}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ を掛けます。

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.3

$- - \frac{3 y^{2}}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.3.2

$\frac{3 y^{2}}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.4

$x^{3} \frac{d g}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.6

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.6.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.6.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.7

$2 y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.5.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.7

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.7.1

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.7.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.7.2.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.7.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.7.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

ステップ 13.1.2

$y (2 x + 3 y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1

書き換えます。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

ステップ 13.1.2.2

0を加えて簡約します。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

ステップ 13.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

ステップ 13.1.2.4

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

ステップ 13.1.2.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

ステップ 13.1.2.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.5.1

$y$ を移動させます。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

ステップ 13.1.2.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

ステップ 13.1.3

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

方程式の両辺から $2 y x$ を引きます。

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

ステップ 13.1.3.2

方程式の両辺から $3 y^{2}$ を引きます。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

ステップ 13.1.3.3

$2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.3.1

$2 y x$ から $2 y x$ を引きます。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

ステップ 13.1.3.3.2

$3 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

ステップ 13.1.3.3.3

$3 y^{2}$ から $3 y^{2}$ を引きます。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 13.1.4

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $x^{4}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $x^{4}$ で割ります。

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

ステップ 13.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.2.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

ステップ 13.1.4.2.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

ステップ 13.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.3.1

$0$ を $x^{4}$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 14

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 14.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 14.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 15

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

ステップ 16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

ステップ 16.2

$y^{2}$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

ステップ 16.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$- \frac{1}{x^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

ステップ 16.3.2

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

ステップ 16.3.3

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

ステップ 16.3.4

共通因数を約分します。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

ステップ 16.3.5

式を書き換えます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

ステップ 16.4

$\frac{- 1}{x^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

ステップ 16.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例