微分積分例

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(x + 1) y$ の微分係数の結果か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

ステップ 1.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.8

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.9

$y$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$u = \ln (| x |)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 5.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2

式を書き換えます。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

ステップ 5.4

簡約します。

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

ステップ 6

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ の各項を $x + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

ステップ 6.3.4

$\ln (| x |) x - x + C$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

ステップ 7

初期条件を利用し、 $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ の $1$ を $x$ に、 $10$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

ステップ 8

$C$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ として書き換えます。

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $1 + 1$ を掛けます。

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1.1.1

$\ln (| 1 |)$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.2.3.2

式を書き換えます。

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$(1 + 1) \cdot 10$ を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

ステップ 8.3.2.1.2

$2$ に $10$ をかけます。

$- 1 + C = 20$

ステップ 8.4

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$C = 20 + 1$

ステップ 8.4.2

$20$ と $1$ をたし算します。

$C = 21$

ステップ 9

$21$ を $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$21$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$

微分積分 例

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