微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.3

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.5.2

$8$ と $3$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{\frac{11}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ として書き換えます。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

ステップ 4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

ステップ 4.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

ステップ 4.2.1.5

$\frac{2}{13}$ に $0$ をかけます。

$0 + K = 0$

ステップ 4.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 0$

ステップ 5

$0$ を $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

ステップ 5.2

$\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

ステップ 5.3

$\frac{2}{13}$ と $x^{\frac{13}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$

微分積分 例

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