微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.2

$y^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{2}{3}}$ の $y$ に関する積分は $3 y^{\frac{1}{3}}$ です。

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

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ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

二項定理を利用します。

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.2.1

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$3$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.2.3.1

$3$ を $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.4

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.6

$\frac{x^{2}}{9}$ と $K$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.2.7.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.7.2

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.8

積の法則を $\frac{K}{3}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.9

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.10

$x$ と $\frac{K^{2}}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.11

積の法則を $\frac{K}{3}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

ステップ 3.3.2.1.2.12

$3$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

ステップ 3.4

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2}$ と $K$ を並べ替えます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

ステップ 3.4.2

$x$ と $K^{2}$ を並べ替えます。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

ステップ 3.4.3

$\frac{x^{3}}{27}$ を移動させます。

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

ステップ 3.4.4

$\frac{K x^{2}}{9}$ を移動させます。

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

ステップ 3.4.5

$\frac{K^{2} x}{9}$ と $\frac{K^{3}}{27}$ を並べ替えます。

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

微分積分 例

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