微分積分例

$(x^{2} + y) d x - x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x^{2} + y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x^{2} + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

ステップ 1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1 + 1}{N}$

ステップ 4.3

$- x$ を $N$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$- x$ を $N$ に代入します。

$\frac{1 + 1}{- x}$

ステップ 4.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{- x}$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 6

$(x^{2} + y) d x - x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x^{2} + y$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$(x^{2} + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

ステップ 6.2

$x^{2} + y$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

ステップ 6.3

$- x$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.4.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - \frac{1}{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

ステップ 8.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{y}{x} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{y}{x}$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

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ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.5.2

$y$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y}{x^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x^{2} + y}{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x^{2} + y)}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{2} - y}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$y - x^{2} - y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.1.4.1

$y$ から $y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 1$

ステップ 13

$1$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 1$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int d x$

ステップ 13.3

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = x + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + x + C$

微分積分 例

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