微分積分例

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $y - x + x y \cot (x)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

ステップ 1.2.3

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x \cot (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y \cot (x)$ の微分係数は $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x \cot (x) + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x \cot (x) + 1 = 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x \cot (x) + 1 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x \cot (x) + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

ステップ 4.3

$x$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x$ を $N$ に代入します。

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

ステップ 4.3.2.2

$x \cot (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \cot (x)}{x}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cot (x)}{x}$

ステップ 4.3.3.2

$\cot (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot (x)$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \cot (x) d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

ステップ 6

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y - x + x y \cot (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

ステップ 6.2.2

$x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$x$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

ステップ 6.2.2.2

$y$ と $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

ステップ 6.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

ステップ 6.4.2

式を書き換えます。

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

ステップ 6.5

$x$ に $\sin (x)$ をかけます。

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x \sin (x)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.2

総和則では、 $x \sin (x) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x \sin (x) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.3.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x y \cos (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $y \sin (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

ステップ 12.1.3

$y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$y x \cos (x)$ と $- x y \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

ステップ 12.1.3.2

$x y \cos (x)$ から $x y \cos (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

ステップ 12.1.3.3

$y \sin (x) - x \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

ステップ 12.1.3.4

$y \sin (x)$ から $y \sin (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

ステップ 12.1.3.5

$- x \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

ステップ 13

$- x \sin (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

ステップ 13.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

ステップ 13.4

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

ステップ 13.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

ステップ 13.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

ステップ 13.6.2

$\int \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

ステップ 13.7

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

ステップ 13.8

$- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ を $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ に書き換えます。

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

ステップ 15.1.2

$- (- x \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

ステップ 15.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$

微分積分 例

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