微分積分例

$e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

$e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ の各項を $e^{y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

$e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ の各項を $e^{y}$ で割ります。

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

ステップ 1.1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{1}{e^{y}}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} - 1$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

ステップ 1.3

$\frac{1}{e^{y}} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ を掛けます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1 \cdot \frac{e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ と $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int 1 \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.3

$\frac{e^{y}}{1 - e^{y}}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

$u = 1 - e^{y}$ とします。次に $d u = - e^{y} d y$ すると、 $- \frac{1}{e^{y}} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = 1 - e^{y}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$1 - e^{y}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 - e^{y}]$

ステップ 2.2.2.1.2

微分します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

総和則では、 $1 - e^{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

ステップ 2.2.2.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

ステップ 2.2.2.1.3

$\frac{d}{d y} [- e^{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- e^{y}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$0 - \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - e^{y}$

ステップ 2.2.2.1.4

$0$ から $e^{y}$ を引きます。

$- e^{y}$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

ステップ 2.2.3

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $1 - e^{y}$ で置き換えます。

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| 1 - e^{y} |) = x + C$

微分積分 例

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