微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cdot y^{2} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{d y}{d x} + 2 (y^{2} y) = 0$

ステップ 1.1.1.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + 2 (y^{2} y^{1}) = 0$

ステップ 1.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} + 2 y^{2 + 1} = 0$

ステップ 1.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y^{3} = 0$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $2 y^{3}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{3}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (- 2 y^{3})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

ステップ 1.3.2

$- 2$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{3}} y^{3}$

ステップ 1.3.3

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{3}} y^{3}$

ステップ 1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - 2$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} d y = - 2 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int - 2 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - 2 d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int - 2 d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 3} d y = \int - 2 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int - 2 d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int - 2 d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int - 2 d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - 2 d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - 2 x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 2 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y^{2}, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 y^{2}$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 2 x + K$ の各項に $2 y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 2 x + K$ の各項に $2 y^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = - 2 \cdot 2 x y^{2} + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 1 = - 4 x y^{2} + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = - 4 x y^{2} + 2 K y^{2}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $- 4 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ として書き換えます。

$- 4 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2

$2 y^{2}$ を $- 4 x y^{2} + 2 K y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$2 y^{2}$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$2 y^{2} (- 2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$2 y^{2}$ を $2 K y^{2}$ で因数分解します。

$2 y^{2} (- 2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$2 y^{2}$ を $2 y^{2} (- 2 x) + 2 y^{2} K$ で因数分解します。

$2 y^{2} (- 2 x + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$2 y^{2} (- 2 x + K) = - 1$ の各項を $2 (- 2 x + K)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$2 y^{2} (- 2 x + K) = - 1$ の各項を $2 (- 2 x + K)$ で割ります。

$\frac{2 y^{2} (- 2 x + K)}{2 (- 2 x + K)} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2} (- 2 x + K)}{2 (- 2 x + K)} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} (- 2 x + K)}{- 2 x + K} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2

$- 2 x + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (- 2 x + K)}{- 2 x + K} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 2 x + K)}$

ステップ 3.3.3.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.3.3.3

$- 1$ を $K$ で因数分解します。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (2 x) - 1 (- K))}$

ステップ 3.3.3.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- K)$ で因数分解します。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (2 x - K))}$

ステップ 3.3.3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.5.1

$- (2 x - K)$ を $- 1 (2 x - K)$ に書き換えます。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (2 x - K))}$

ステップ 3.3.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (2 x - K)}$

ステップ 3.3.3.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (2 x - K)}$

ステップ 3.3.3.3.5.4

$\frac{1}{2 (2 x - K)}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = \frac{1}{2 (2 x - K)}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (2 x - K)}}$

ステップ 3.3.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{2 (2 x - K)}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$\sqrt{\frac{1}{2 (2 x - K)}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$

ステップ 3.3.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$

ステップ 3.3.5.3

$\frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ に $\frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$

ステップ 3.3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ に $\frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)} \sqrt{2 (2 x - K)}}$

ステップ 3.3.5.4.2

$\sqrt{2 (2 x - K)}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1} \sqrt{2 (2 x - K)}}$

ステップ 3.3.5.4.3

$\sqrt{2 (2 x - K)}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1} {\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1}}$

ステップ 3.3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{2}}$

ステップ 3.3.5.4.6

${\sqrt{2 (2 x - K)}}^{2}$ を $2 (2 x - K)$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (2 x - K)}$ を ${(2 (2 x - K))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{({(2 (2 x - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{1}}$

ステップ 3.3.5.4.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

ステップ 3.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。