微分積分例

$\frac{1}{x} d y = \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 1

両辺に $x y^{2}$ を掛けます。

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$x (y^{2}) \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 2.1.2

共通因数を約分します。

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 2.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} d y = x e^{x^{2}} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.3.1.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 3.3.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 3.3.1.1.4

簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 3.3.1.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

ステップ 4.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

ステップ 4.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{x^{2}}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)$

ステップ 4.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

ステップ 4.2.2.1.3

$3$ と $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

ステップ 4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

ステップ 4.4

$\sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$3$ を $\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1.1

$3$ を $\frac{3 e^{x^{2}}}{2}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

ステップ 4.4.1.2

$3$ を $3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

ステップ 4.4.1.3

$3$ を $3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)}$

ステップ 4.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

ステップ 4.4.3

項を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

ステップ 4.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + K \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.4.4

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}}$

ステップ 4.4.5

$3$ と $\frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$

ステップ 4.4.6

$\sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 4.4.7

$\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.8.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.8.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 4.4.8.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 4.4.8.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 4.4.8.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 4.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.4.8.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.8.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.4.8.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.4.8.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 4.4.9

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.9.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 4.4.9.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 4.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.10.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

ステップ 4.4.10.2

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{2}$

ステップ 5

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + K)}}{2}$

微分積分 例

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