微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 x y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

ステップ 2

$P (x) = 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 x d x}$

ステップ 2.2

$2 x$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int x d x}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

ステップ 3.3

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 7.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

ステップ 7.2.2

$\frac{u}{2}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

ステップ 7.4

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 7.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 7.6

簡約します。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 7.7

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

分配則を当てはめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

ステップ 7.8.2

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 7.8.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

ステップ 7.8.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{x^{2}}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

ステップ 7.8.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{x^{2}}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

ステップ 7.9

項を並べ替えます。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 8

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- \frac{1}{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

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ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.2.2

$x^{2} \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.2.3

$x^{2} \frac{1}{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.3.2.2

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.3.3

因数分解した形で $x^{2} - 1$ を書き換えます。

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ステップ 8.3.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.4

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ を掛けます。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.5

$\frac{C}{e^{x^{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.3.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 e^{x^{2}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.6.1

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ に $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ をかけます。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.3.6.2

$\frac{C}{e^{x^{2}}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

ステップ 8.3.6.3

$e^{x^{2}} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.8.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.4

$- 1 e^{x^{2}}$ を $- e^{x^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.8.5

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$

微分積分 例

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