微分積分例

$(x y^{2} + y) d x + (x^{2} y + x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x y^{2} + y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x y^{2} + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} y + x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + x]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} y + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 1$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x y + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x y^{2} + y d x$

ステップ 5

$M (x, y) = x y^{2} + y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x y^{2} d x + \int y d x$

ステップ 5.2

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y x + C$

ステップ 5.7

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.2

総和則では、 $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.5

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.3.7.2

$x^{2} y$ を $1$ で割ります。

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.4

$\frac{d}{d y} [y x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.4.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{2} y + x + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + x = x^{2} y + x$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + x = x^{2} y + x - x^{2} y$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x - x^{2} y - x$

ステップ 9.1.3

$x^{2} y + x - x^{2} y - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.3.1

$x^{2} y$ から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x + 0 - x$

ステップ 9.1.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = x - x$

ステップ 9.1.3.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 10.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y x + C$

ステップ 12.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y x + C$

微分積分 例

微分積分例