微分積分例

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

ステップ 1.2.2

$y$ を $x^{2} y - 3 y$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

ステップ 1.2.2.2

$y$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

ステップ 1.2.2.3

$y$ を $y x^{2} + y \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

ステップ 1.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$e^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

ステップ 2.3.1.2.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x^{2} - 3$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

ステップ 2.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

ステップ 2.3.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

ステップ 2.3.6

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.8.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.9

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.9.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.9.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.9.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.3.9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 2.3.10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

ステップ 2.3.12

$(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ を $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

ステップ 2.3.14

項を並べ替えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

ステップ 3.3.2

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

ステップ 3.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

ステップ 3.3.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$3 e^{- x}$ から $2 e^{- x}$ を引きます。

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

ステップ 3.3.2.2.2

$e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ の因数を並べ替えます。

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ を $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

微分積分 例

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