微分積分例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(1 + x^{2}) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = 1 + x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 1.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

ステップ 1.6

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.8

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.9

括弧を削除します。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

ステップ 1.10

$y$ を移動させます。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $1 + x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $1 + x^{2}$ で割ります。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3.2

$\frac{C}{1 + x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (1 + x^{2})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.3.1

$\frac{C}{1 + x^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

ステップ 6.3.3.2

$(1 + x^{2}) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

ステップ 6.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

ステップ 6.3.5

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$

微分積分 例

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