微分積分例

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d z}{d u}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $z$ を引きます。

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

ステップ 1.1.2

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ の各項を $u$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ の各項を $u$ で割ります。

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d z}{d u}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

ステップ 1.1.2.3.2

$- z$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - z}{1 - z}$ を掛けます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.3

項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.3.1

$- z$ と $\frac{1 - z}{1 - z}$ をまとめます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.4.1

$z$ を $z - z (1 - z)$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.3.4.1.1

$z$ を $1$ 乗します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.1.2

$z$ を $z^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.1.3

$z$ を $- z (1 - z)$ で因数分解します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.1.4

$z$ を $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ で因数分解します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.4

$- - z$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.3.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.4.2

$z$ に $1$ をかけます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.4.6

$0$ と $z$ をたし算します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

$z$ を $1$ 乗します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$z$ を $1$ 乗します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

ステップ 1.1.2.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

ステップ 1.1.2.3.7

$\frac{z^{2}}{1 - z}$ に $\frac{1}{u}$ をかけます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

ステップ 1.1.2.3.8

$\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1 - z}{z^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{z^{2}}{1 - z}$ に $\frac{1}{u}$ をかけます。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

ステップ 1.4.2

$1 - z$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$1 - z$ を $(1 - z) u$ で因数分解します。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

ステップ 1.4.3

$z^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

ステップ 1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$z^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.1.2

${(z^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.2

$(1 - z) z^{- 2}$ を掛けます。

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$z^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.3.2

指数を足して $z$ に $z^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.3.2.1

$z^{- 2}$ を移動させます。

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.3.2.2

$z^{- 2}$ に $z$ をかけます。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

$z$ を $1$ 乗します。

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.3.2.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $z^{- 2}$ の $z$ に関する積分は $- z^{- 1}$ です。

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.6

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.7

$z^{- 1}$ の $z$ に関する積分は $\ln (| z |)$ です。

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.2.8

簡約します。

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$

微分積分 例

微分積分例