微分積分例

$(2 x - 3 y) d x - (3 x + y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x - 3 y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - 3 y]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x - 3 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

ステップ 1.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 3 y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3$

ステップ 1.4

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

ステップ 2

$N (x, y) = - (3 x + y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x + y)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (3 x + y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [3 x + y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x + y]$

ステップ 2.3

総和則では、 $3 x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.7

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0)$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 3$

ステップ 2.8.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 3$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 3 = - 3$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 3 = - 3$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - (3 x + y) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = - (3 x + y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int 3 x + y d y$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = - (\int 3 x d y + \int y d y)$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - (3 x y + C + \int y d y)$

ステップ 5.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = - (3 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (3 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.2.2

総和則では、 $- (3 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [3 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [3 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $3 x y + \frac{y^{2}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ です。

$- (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.3

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.5

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{y^{2}}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- (3 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$- (3 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.7

$3 y$ と $0$ をたし算します。

$- (3 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.3.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- 3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - 3 y = 2 x - 3 y$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺に $3 y$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 3 y$

ステップ 9.1.2

$2 x - 3 y + 3 y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$- 3 y$ と $3 y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

ステップ 10

$2 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 x d x$

ステップ 10.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 \int x d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = 1 x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (x) = x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + x^{2} + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{y^{2}}{2}) + x^{2} + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - (3 x y) - \frac{y^{2}}{2} + x^{2} + C$

ステップ 12.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = - 3 x y - \frac{y^{2}}{2} + x^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例