微分積分例

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d t}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d t}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $t y^{2}$ を引きます。

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

ステップ 1.1.3

$t^{2} \frac{d y}{d t}$ を $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$t^{2} \frac{d y}{d t}$ を $t^{2} \frac{d y}{d t}$ で因数分解します。

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$t^{2} \frac{d y}{d t}$ を $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ で因数分解します。

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

ステップ 1.1.3.3

$t^{2} \frac{d y}{d t}$ を $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ で因数分解します。

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

ステップ 1.1.4

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ の各項を $t^{2} (1 - y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ の各項を $t^{2} (1 - y)$ で割ります。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.2.2

$1 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.2.2.2

$\frac{d y}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2

$t$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.2.1

$t$ を $- t y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.2.2.1

$t$ を $t^{2} (1 - y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

ステップ 1.1.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ を $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

$1$ と $- y$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

ステップ 1.2.1.1.2

$1$ と $- y$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ を $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

ステップ 1.2.1.3

$- 1$ を $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

ステップ 1.2.1.4

$- 1$ を $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

ステップ 1.2.2

$\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t}{t}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

ステップ 1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(- y + 1) t^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.3.1

$\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

ステップ 1.2.3.2

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

ステップ 1.2.3.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

ステップ 1.2.5

$y^{2}$ を $y^{2} + y^{2} t$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.5.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

ステップ 1.2.5.2

$y^{2}$ を $y^{2} t$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

ステップ 1.2.5.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

ステップ 1.2.5.4

$y^{2}$ に $1 + t$ をかけます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

ステップ 1.5.2

$\frac{y^{2}}{- y + 1}$ に $\frac{1 + t}{t^{2}}$ をかけます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

ステップ 1.5.3

$- y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

ステップ 1.5.3.2

$- y + 1$ を $- (- y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

ステップ 1.5.3.3

$- y + 1$ を $(- y + 1) t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

ステップ 1.5.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

ステップ 1.5.3.5

式を書き換えます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

ステップ 1.5.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.2

$(- y + 1) y^{- 2}$ を掛けます。

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

指数を足して $y$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$y^{- 2}$ を移動させます。

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3.1.2

$y^{- 2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3.1.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3.2

$y^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.6

$y^{- 1}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.7

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.8

簡約します。

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.9

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 2.3.2.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3

$(1 + t) t^{- 2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$t^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.4.2

指数を足して $t$ に $t^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$t$ に $t^{- 2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

ステップ 2.3.4.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

ステップ 2.3.5

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

ステップ 2.3.7

$t^{- 1}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$

微分積分 例

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