微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 4$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $t$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2

$u = 3 t^{2} - 1$ とします。次に $d u = 6 t d t$ すると、 $\frac{1}{6} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = 3 t^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$3 t^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $3 t^{2} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 t + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$6 t$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

ステップ 2.3.3

$u^{3}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{6}$ と $12$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2

$12$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $3 t^{2} - 1$ で置き換えます。

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ の $1$ を $t$ に、 $4$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$4 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 4$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 4$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 4$

ステップ 4.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 4$

ステップ 4.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 4$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ を $2^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 4$

ステップ 4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 4$

ステップ 4.2.3.3

式を書き換えます。

$2^{3} + K = 4$

ステップ 4.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + K = 4$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$K = 4 - 8$

ステップ 4.3.2

$4$ から $8$ を引きます。

$K = - 4$

ステップ 5

$- 4$ を $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 4$ を $K$ に代入します。

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} - 4$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

二項定理を利用します。

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

積の法則を $3 t^{2}$ に当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.2

$3$ を $4$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.3

${(t^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.4

積の法則を $3 t^{2}$ に当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.5

$3$ を $3$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.6

${(t^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.7

$27$ に $4$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.8

$- 1$ に $108$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.9

積の法則を $3 t^{2}$ に当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.10

$3$ を $2$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.11

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.11.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.12

$9$ に $6$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.13

$- 1$ を $2$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.14

$54$ に $1$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.15

$3$ に $4$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.16

$- 1$ を $3$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.17

$- 1$ に $12$ をかけます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) - 4$

ステップ 5.2.2.18

$- 1$ を $4$ 乗します。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) - 4$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\frac{1}{2} (81 t^{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$81$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.1.2

$\frac{81}{2}$ と $t^{8}$ をまとめます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$2$ を $- 108 t^{6}$ で因数分解します。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$2$ を $54 t^{4}$ で因数分解します。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.3.3

式を書き換えます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$2$ を $- 12 t^{2}$ で因数分解します。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.4.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.4.3

式を書き換えます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.4.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} - 4$

ステップ 5.3

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.4

$- 4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 - 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 - 8}{2}$

ステップ 5.6.2

$1$ から $8$ を引きます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 5.7

分数の前に負数を移動させます。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} - \frac{7}{2}$

微分積分 例

微分積分例