微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $x + 2 x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.4

両辺に $y (1 + 2 y^{2})$ を掛けます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.4

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.4.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

ステップ 1.5.5

まとめる。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

ステップ 1.5.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

ステップ 1.5.7

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.7.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.7.2.1

$x$ を $4 x y (1 + 2 y^{2})$ で因数分解します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

ステップ 1.5.7.2.2

共通因数を約分します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

ステップ 1.5.7.2.3

式を書き換えます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.8

$y + 2 y^{3}$ に $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ をかけます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.9

$y$ を $y + 2 y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.9.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.9.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.9.3

$y$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.9.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ で因数分解します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.10

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.10.1

共通因数を約分します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.10.2

式を書き換えます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.11

$1 + 2 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.11.1

共通因数を約分します。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

ステップ 1.5.11.2

式を書き換えます。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.3

$y$ と $2$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.5

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.7

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.1.8

$y$ と $2 y^{3}$ を並べ替えます。

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{4}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.2.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ を $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$

微分積分 例

微分積分例