微分積分例

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

ステップ 1

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ の各項を $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ の各項を $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.2.2

$\sin^{2} (\frac{y}{x})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.3

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ を ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.4

$\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ を $\csc (\frac{y}{x})$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.5

$\sin^{2} (\frac{y}{x})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$\csc^{2} (V) + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$\csc^{2} (V)$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

ステップ 6.1.3.2

$\csc^{2} (V)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

$\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ を ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ に書き換えます。

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.3

正弦と余弦に関して $\csc (V)$ を書き換えます。

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (V)}$ で割ります。

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.5

$\sin (V)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

半角公式を利用して $\sin^{2} (V)$ を $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $V$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

$u = 2 V$ とします。次に $d u = 2 d V$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.2.7.1

$u = 2 V$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

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ステップ 6.2.2.7.1.1

$2 V$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [2 V]$

ステップ 6.2.2.7.1.2

$2$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $2 V$ の微分係数は $2 \frac{d}{d V} [V]$ です。

$2 \frac{d}{d V} [V]$

ステップ 6.2.2.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.2.2.7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2.2.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.11

簡約します。

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.12

$u$ のすべての発生を $2 V$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.13

簡約します。

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ステップ 6.2.2.13.1

$\sin (2 V)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.13.3

$\frac{1}{2}$ と $V$ をまとめます。

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.13.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.13.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 V)}{2}$ をかけます。

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.13.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

ステップ 8

左辺を簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{y}{x}$ をかけます。

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

ステップ 8.1.2

$2$ と $\frac{y}{x}$ をまとめます。

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

ステップ 8.1.3

$\sin (\frac{2 y}{x})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例