微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = x + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = x + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = x + 2 + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = x + 2 - \frac{3}{x}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (x + 2 - \frac{3}{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x + 2 - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x + 2 - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x d x + \int 2 d x + \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 2 d x + \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} + \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - 3 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - 3 (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例