微分積分例

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y - y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} + x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x - 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x - 1 = 2 x + 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x - 1 = 2 x + 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 x - 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} + x$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} + x$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.2.4

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.2.5

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.2.6

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

ステップ 4.3.3.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

ステップ 4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

ステップ 5.4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 5.4.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x + 1)$ です。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.5.1.2

$A (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.5.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.5.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 5.4.1.5.4.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

ステップ 5.4.1.6

$A$ を移動させます。

$1 = A x + B x + A$

ステップ 5.4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 5.4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 5.4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

ステップ 5.4.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 5.4.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = (1) + B$

$A = 1$

ステップ 5.4.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

ステップ 5.4.3.3

$0 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1

方程式を $1 + B = 0$ として書き換えます。

$1 + B = 0$

$A = 1$

ステップ 5.4.3.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

ステップ 5.4.3.4

連立方程式を解きます。

$B = - 1 A = 1$

ステップ 5.4.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - 1, A = 1$

ステップ 5.4.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 5.5

単一積分を複数積分に分割します。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

ステップ 5.6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

ステップ 5.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

ステップ 5.8

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 5.8.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.8.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 5.9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

ステップ 5.10

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

ステップ 5.11

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

ステップ 5.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

ステップ 5.12.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

ステップ 5.12.3

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

ステップ 5.12.4

積の法則を $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ に当てはめます。

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.5.1

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x + 1 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.2

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.5.3.1

分配則を当てはめます。

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.3.2

分配則を当てはめます。

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.3.3

分配則を当てはめます。

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.5.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.5

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.5.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 5.12.5.5.3

多項式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.5.5.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

ステップ 5.12.6

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 6

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$2 x y - y$ に $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

ステップ 6.2

$2 x y - y$ に $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ を $2 x y - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ を $y (2 x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

ステップ 6.4

$x^{2} + x$ に $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5

$x^{2} + x$ に $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.1.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.2

指数を足して $x + 1$ に ${(x + 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

${(x + 1)}^{2}$ を移動させます。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.2.2

${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$x$ を $x {(x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

ステップ 8.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

ステップ 8.2.2

$\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ を $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

ステップ 8.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

ステップ 8.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

ステップ 8.2.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

ステップ 8.2.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.2

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.3

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.11

$2$ に $3$ をかけます。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.12

$3$ に $1$ をかけます。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.13

$3 x^{2} + 6 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.15

$y$ と $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.4

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.9

$6$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.10

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.11

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.12

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.13

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.15

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.16

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.17

$y$ を移動させます。

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.18

$3 x^{3} y$ から $x^{3} y$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.19

$y$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.20

$6 x^{2} y$ から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.21

$y$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.22

$3 x y$ から $3 x y$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.4.23

$2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.6

$y$ を $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.6.1

$y$ を $2 x^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.6.2

$y$ を $3 x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.6.3

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.6.4

$y$ を $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.6.5

$y$ を $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.7

$\frac{d g}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.9.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.9.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.9.2.3

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.9.3

各項を簡約します。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.5.10

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2

$y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

書き換えます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2.2.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2.2.2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.2.2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2.2.2.2.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2.2.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 12.1.2.2.4

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

ステップ 12.1.2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

ステップ 12.1.2.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

ステップ 12.1.2.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 12.1.2.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 12.1.2.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 12.1.2.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

ステップ 12.1.2.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

ステップ 12.1.2.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

ステップ 12.1.2.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ を展開します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.6.1

$2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.6.1.1

$2 y x \cdot 1$ と $- y (2 x)$ について因数を並べ替えます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.1.2

$1 \cdot 2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.1.3

$2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.6.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.6.2.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.6.2.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.6.2.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

ステップ 12.1.2.6.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

ステップ 12.1.2.6.3

$4 y x^{2}$ から $y x^{2}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

ステップ 12.1.3

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

方程式の両辺から $2 y x^{3}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

ステップ 12.1.3.2

方程式の両辺から $3 y x^{2}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

ステップ 12.1.3.3

方程式の両辺に $y$ を足します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

ステップ 12.1.3.4

$2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.4.1

$2 y x^{3}$ から $2 y x^{3}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

ステップ 12.1.3.4.2

$3 y x^{2} - y$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

ステップ 12.1.3.4.3

$3 y x^{2}$ から $3 y x^{2}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

ステップ 12.1.3.4.4

$- y$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

ステップ 12.1.3.4.5

$- y$ と $y$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 12.1.4

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.2.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.3.1

$0$ を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 13.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$

微分積分 例

微分積分例