微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \sqrt{x} + 1$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 1 + \sqrt{x}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 1 + \sqrt{x}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 1 + \sqrt{x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{2}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 2}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{2}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{2 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\sqrt{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 7.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 7.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 7.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 7.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.4.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

ステップ 7.4.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

ステップ 7.4.2.3

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

ステップ 7.4.2.3.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

ステップ 7.4.2.3.3

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 7.4.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 7.4.2.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

ステップ 7.4.2.3.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 7.4.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 7.6

簡約します。

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 8.1.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺に $2 x^{- \frac{1}{2}}$ を足します。

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} = C$

ステップ 8.1.3

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

ステップ 8.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

ステップ 8.1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

ステップ 8.1.4.3

$2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = - \frac{1}{x}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.3

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.1.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.1.4

式を書き換えます。

$y = - 1 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.4

式を書き換えます。

$y = - 1 x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

ステップ 8.4.2.1.4

$- 2 x^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$y = - x + C x^{2} - 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.5

$- x$ と $C x^{2}$ を並べ替えます。

$y = C x^{2} - x - 2 x^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

微分積分例