微分積分例

$(3 y e^{3 x} - 2 x) d x + e^{3 x} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 y e^{3 x} - 2 x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y e^{3 x} - 2 x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 y e^{3 x} - 2 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 y e^{3 x}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y e^{3 x}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 y e^{3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$3 e^{3 x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y e^{3 x}$ の微分係数は $3 e^{3 x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} + 0$

ステップ 1.4.2

$3 e^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x}$

ステップ 2

$N (x, y) = e^{3 x}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} (3 \cdot 1)$

ステップ 2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 2.3.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$3 e^{3 x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 e^{3 x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 e^{3 x} = 3 e^{3 x}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = e^{3 x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.2

総和則では、 $e^{3 x} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e^{3 x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.3.7

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 8.5.2

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} - 2 x$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $3 y e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} - 2 x - 3 y e^{3 x}$

ステップ 9.1.2

$3 y e^{3 x} - 2 x - 3 y e^{3 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$3 y e^{3 x}$ から $3 y e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

ステップ 10

$- 2 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - 2 x d x$

ステップ 10.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - 2 \int x d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$g (x) = - x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{3 x} y - x^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = e^{3 x} y - x^{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y e^{3 x} - x^{2} + C$

微分積分 例

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