微分積分例

${(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x + {(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から ${(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x$ を引きます。

${(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y} d y = - {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x$

ステップ 2

両辺に ${(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2}$ を掛けます。

${(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} ({(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

指数を足して ${(e^{- x} + 1)}^{3}$ に ${(e^{- x} + 1)}^{- 3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

${(e^{- x} + 1)}^{- 3}$ を移動させます。

${(e^{- x} + 1)}^{- 3} {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(e^{- x} + 1)}^{- 3 + 3} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.1.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

${(e^{- x} + 1)}^{0} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.2

${(e^{- x} + 1)}^{0} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y}$ を簡約します。

${(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.3

${(e^{- y} + 1)}^{2}$ を $(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1)$ に書き換えます。

$(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$(e^{- y} (e^{- y} + 1) + 1 (e^{- y} + 1)) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$(e^{- y} e^{- y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 (e^{- y} + 1)) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$(e^{- y} e^{- y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{- y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- y - y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.5.1.1.2

$- y$ から $y$ を引きます。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.5.1.2

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.5.1.3

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.5.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.5.2

$e^{- y}$ と $e^{- y}$ をたし算します。

$(e^{- 2 y} + 2 e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$(e^{- 2 y} e^{y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

指数を足して $e^{- 2 y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- 2 y + y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7.1.2

$- 2 y$ と $y$ をたし算します。

$(e^{- y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7.2

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$e^{y}$ を移動させます。

$(e^{- y} + 2 (e^{y} e^{- y}) + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- y} + 2 e^{y - y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7.2.3

$y$ から $y$ を引きます。

$(e^{- y} + 2 e^{0} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7.3

$2 e^{0}$ を簡約します。

$(e^{- y} + 2 + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.7.4

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} ({(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

ステップ 3.9

指数を足して ${(e^{- y} + 1)}^{2}$ に ${(e^{- y} + 1)}^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

${(e^{- y} + 1)}^{- 2}$ を移動させます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} ({(e^{- y} + 1)}^{- 2} {(e^{- y} + 1)}^{2}) e^{x} d x$

ステップ 3.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{- 2 + 2} e^{x} d x$

ステップ 3.9.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{0} e^{x} d x$

ステップ 3.10

$- {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{0} e^{x}$ を簡約します。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} e^{x} d x$

ステップ 3.11

二項定理を利用します。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - ({(e^{- x})}^{3} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

${(e^{- x})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- x \cdot 3} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.2

${(e^{- x})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.3

$3$ に $1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} \cdot 1 + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.5

$3$ に $1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} + 1^{3}) e^{x} d x$

ステップ 3.12.6

1のすべての数の累乗は1です。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} + 1) e^{x} d x$

ステップ 3.13

分配則を当てはめます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - (3 e^{- 2 x}) - (3 e^{- x}) - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

ステップ 3.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - (3 e^{- x}) - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

ステップ 3.14.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

ステップ 3.14.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 1) e^{x} d x$

ステップ 3.15

分配則を当てはめます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} e^{x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

指数を足して $e^{- 3 x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- (e^{x} e^{- 3 x}) - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{x - 3 x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.1.3

$x$ から $3 x$ を引きます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.2

指数を足して $e^{- 2 x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 (e^{x} e^{- 2 x}) - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{x - 2 x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.2.3

$x$ から $2 x$ を引きます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.3

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 (e^{x} e^{- x}) - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{x - x} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.3.3

$x$ から $x$ を引きます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{0} - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.4

$- 3 e^{0}$ を簡約します。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - 1 e^{x}) d x$

ステップ 3.16.5

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{- y} + 2 + e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{- y} d y + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u_{1} = - y$ とします。次に $d u_{1} = - d y$ すると、 $- d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$u_{1} = - y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.4

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.5

定数の法則を当てはめます。

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + 2 y + C_{2} + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.6

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + 2 y + C_{2} + e^{y} + C_{3} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.7

簡約します。

$- e^{u_{1}} + 2 y + e^{y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.8

$u_{1}$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$- e^{- y} + 2 y + e^{y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.2.9

項を並べ替えます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} d x + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{- 2 x} d x + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.3

$u_{2} = - 2 x$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$u_{2} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 4.3.3.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 4.3.3.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 4.3.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.4.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.5

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = 1 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.6.2

$\int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.7

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.8

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.9

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 \int e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.10

$u_{3} = - x$ とします。次に $d u_{3} = - d x$ すると、 $- d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.10.1

$u_{3} = - x$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.10.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.3.10.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.10.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3.10.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 \int - e^{u_{3}} d u_{3} + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.11

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 (- \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.12

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.13

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.14

定数の法則を当てはめます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} - \int e^{x} d x$

ステップ 4.3.16

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} - (e^{x} + C_{8})$

ステップ 4.3.17

簡約します。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{u_{2}} + 3 e^{u_{3}} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

ステップ 4.3.18

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.1

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 e^{u_{3}} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

ステップ 4.3.18.2

$u_{3}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 e^{- x} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

ステップ 4.3.19

項を並べ替えます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 3 x + 3 e^{- x} - e^{x} + C_{9}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y + e^{y} - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 3 x + 3 e^{- x} - e^{x} + K$

微分積分 例

微分積分例