微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{1}$ を分子に移動させます。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x^{- 1}$ を移動させます。

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.3

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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